复数如何引入数学历史

① 数学史料如何进入数学教学

数学，是最能体现人类智慧的一门学科，也是人类文明赖以生存的学科，作为人类思维的表达形式，它反映了人民积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理以及对完美境界的追求。中学数学是素质教育的重要组成部分，对培养学生分析解题能力、逻辑推理能力、空间想象能力等都非常重要。而数学史教育对中学数学教育的巨大影响力在近年来愈加为人所获知，越来越多的国家开始重视数学史的教学，我国也不例外，数学史教学已成为数学教学中不可或缺的一部分了，由中华人民共和国教育部门定制的《普通高中数学课程标准》于2003年正式出版，该条例明确地提出学生要“感受在人类历史文明进程中数学的力量，体会数学家们在探究新知的过程中严谨的科学态度和大无畏的探索精神，激发学生对学习数学的兴趣，提高学生对数学的理解感悟能力。” 中学数学老师所要必备的教学素质有很多，其中教师对数学史的扎实掌握是非常重要的一项。教师只有掌握一定的数学史知识，才能改进自身的教学不足，提高自身的数学素养，才能真正的把握到数学发展的脉络，向学生传授真正完整的知识。
2、数学史的内涵
要全面的了解一样事物，我们就要了解清楚事情的来龙去脉，要学会数学，我们就要追问数学的发展历程。 “研究这门学科的历史与现状我是们预测数学未来的适当途径。”引用法国著名数学家亨利·庞加莱的原话，也就是说如果我们只是一味的强调知识的掌握却不去了解清楚这些知识的发展历史，那么对这些学生来说，他们所学到的只是些数学的片段知识，并不能真正地认清数学这一学科，而数学史却可以给我们展示知识的总体面貌，让我们更好地地认清数学的过去、现在与未来。
作为一门研究该学科的产生发展及其规律的科学，数学史不仅仅是史料知识这么简单，它还可以追溯到数学的内涵、思维逻辑方式的衍化、发展历程，此外，它还研究数学发展对人类五千多年的文明所带来的影响以及其在人类历史上举足轻重的地位。有人单纯地认为数学史研究就是仅仅为了弄清楚有哪些知识在哪一年由哪个数学家提出的，人类目前为止知道了哪些知识、不知道那些知识，毋容置疑，这是数学史要研究的工作之一，也是最为基础的工作。但是，学习数学史更重要的目的是为了在教学工作中，让师生站在现代数学的成果上，从源头处清理该学科的发展方向和发展规律、并认清它的逻辑思维方式，从本质上更好地理解数学，学会数学。
3、数学史在中学数学教学中的作用
在新课标下改革的大潮下，中学数学课本相应地也增加了不少数学史方面的知识。那么，数学史在中学数学教学中究竟起着怎样的作用呢？作为一个即将踏出学校从事数学教学事业的准老师，我觉得具体有以下几点作用：
3.1数学史能激发学生对学习数学的兴趣
新课标强调教师在教学过程中不仅要重视过程与方法，还要重视学生的情感与态度，只有这样，学生才会对学习产生浓厚的兴趣。在很多学生看来，数学是一门枯燥无味的学科，它既不像语文那样语言优美，又不像英语那样在生活中实用性强，让很多人提不起兴趣来学习。但数学在人类文明上又是不可或缺的，它是一门逻辑性、抽象性很强的学科，如果纯粹的去讲数学知识不去重视培养数学兴趣，那么学生就只是被动的学习，学习主动性就会受到抑制，而数学史在激发学生 学习数学的兴趣就有很大的帮助了，把数学史渗透到数学课堂教学中来能让数学教学活跃起来，不仅有利于学习效果的深化，还可以激发和提高学生数学学习的兴趣。
在课堂一开始，根据教学内容讲叙相应数学家的故事，这样可以引起学生浓厚的兴趣，把心思从课间活动中转移到数学教学当中，这是创造最佳课堂情境，为课堂教学作铺垫的一种好的方法，不仅如此，在教师讲述数学典故的时候，学生的视野还得以开阔，这让他们知道原来这些看似乏味的知识背后却有一个如此一番故事，那么他们对所学的知识提起兴趣了。如在讲数列的前n项和时，在课堂开始开始的时候给学生讲高斯小学被罚算前一百位正整数和的故事，这样学生的心思很快就吸引到课堂来了。除此以外，教师在课堂中引入历史名题也起到引起学生兴趣的作用，许多历史名题的提出都与数学家的有关，学生在思考问题的时候就会不经意的想到这个问题许多大数学家思考过，就会感到一种挑战，自己现在思考的题目许多伟大的数学家也思考过，不知他们所遇到的困惑是否跟我的一样呢，即使想不出来学生也会对题目产生深厚的兴趣。
3.2数学史能加深学生对数学知识的理解
中学生的数学教材由于受一定的局限因素的限制，传授的知识虽然有一定的系统性，但学生对知识的来龙去脉还是不能有个清晰细致的理解，我们就可以利用数学史上人类认知的过程规律，对知识主干进行垂直梳理，使学生头脑中的知识脉络更加清晰，有利于学生对知识的深刻理解和记忆。数学史可以让学生更容易去接受新学的知识，在学生第一次接触代数，第一次面对用字母代替具体的数、时，他们常常会感到迷惑，不知为何要如此，这时教师若想改变这种状况，就可以在课堂上向学生讲述相关数学史料，帮助学生梳理、理解所学的的数学知识。数学的发展历史很长，而现今学生学习到的数学知识是间接学习所得，以前数学家所经历的困难正是学生现在经历的障碍，正因为这些知识产生的过程与学生间接学习的过程十分相似，数学史的讲授就可以帮助学生更好的理解数学知识。总的来说，数学知识是一环紧扣一环的，通过数学史对头脑中所学习的知识的梳理，学生可以更好地在脑海中建立各知识点间、各学科间以及学习与生活间的联系，为更为深刻地理解数学做好铺垫。
在数学历史上无理数的出现曾引发了第一次数学危机，在很长一段时间内人们在心理上都不愿意接受这一事实，学生在学习这个曾经引起动荡的无理数时并不容易，山西某中学曾做过调查，对于无理数相关知识，70％学生只是会做题目，对无理数的概念并没有深刻的理解，这势必对后面的学习造成一定的影响。查阅相关数学史料，我们就发现：在数学史上人们对无理数的发现和理解的过程是想到漫长的，在这个过程当中也犯了不少错误，这样我们就很好的了解学生在学习这一概念时遇到困难是不出奇的，这只是历史的“再现”。所以，在课堂上教师可对学生多讲一些无理数的发展史，这有利于帮助学生理解并接受这一知识。
3.3数学史有助于学生掌握数学思维方法
数学是一门特别的学科，它的特别在于数学有极其严密的思维逻辑形式。我们之所以要学习数学，就是希望通过在数学学习的过程中去锻炼我们的大脑，让我们形成精确缜密的逻辑思维方式和锻炼提高我们的创造能力。实施证明，数学史为这一教育目的的实现起到了不可磨灭的作用。现在中学数学教 材向学生呈现的更多的是系统性的、“天衣无缝”的知识，语言十分的简练，基本都是按定义、定理、证明、推理、例题练习等固定形式去编排，学生在学习过程中跟多的是单纯的去接受这些知识，而缺乏一种真正的数学思维过程，由于学生认知水平的局限，这样他们很容易产生不正确的观点想法，虽然能简速便捷地接受到大批的知识，却让学生轻易认为数学知识学习的过程就固定的是“定义——得出性质定理——做题”，事实是系统化了，却无法让学生清楚了解到知识是经过发现问题、提出假设、论证假设、得出结论并完善，逐步的、经过漫长过程成熟起来的，这不利于学生正确数学思维方法的形成。但是，数学史却可以做到这一点。数学史向学生呈现的不仅仅是明确的数学知识，而更多的是传授相应知识的创造过程，这就让学生对数学知识的产生有一个较为清晰的认识了。通过数学史我们可以认识到数学的本原与特质，从这一个层面上看，在数学史的引领之下，师生间可以创造出一种双向的、探索与研究的课堂气氛。
这样的例子有很多，例如，我们可以再讲数形结合思想时，可以先向学生说在几何学中有很多长期不能解决的问题，例如立方倍级、三等分任意角、化圆为方等问题，直到十七世纪后半叶，法国数学家笛卡儿以坐标为桥梁、在点与数之间、曲线与方程之间建立起对应的关系，用代数方法研究几何问题，从而创立了解释几何学，至今也得到广泛的应用。又如，牛顿和莱布尼兹在在古代数学家研究积分学的思想成果上，为解决许多科学的问题创办了微积分学。
3.4数学史有能培养学生不畏艰险勇往直前的探索精神
一般来说，学生学习的数学课本呈现给学生的都是系统的、现成的知识，并未能体现到数学家们前赴后继、劈荆斩刺地获得数学知识的艰辛，数学家所经历的艰辛而漫长的道路对学生来说似乎只是种形式。但数学这一学科之所以有今天的繁荣昌盛，全赖一代又一代的数学家不畏艰险勇往直前的去摸索、去奋战。通过学习数学史，学生可以明白到这一个道理，知道这些数学家是经过怎样的艰辛奋斗、怎样的排除万难、去把知识一点一滴的积累下来给后来者一个更完善的知识环境，他们就会发现目前学习数学所经历的困难是微不足道的，这样也就不会被学习过程中所遇到的挫折所打倒。此外，通过数学史学生也会发现从古到今不少著名数学家也犯过如今看来非常可笑的错误，数学家跟他们一样也会犯错，那么他们就能正确看待在学习数学过程中所犯过的错误，从而树立起学习数学的自信心。
以计算圆周率∏为例子，古今中外，许多的人都致力于∏的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值，无数的数学家为这个神秘的数贡献了一生的时间与心血。十九世纪前，圆周率的计算进展相当缓慢，十九世纪后，计算∏的世界纪录频频创新。德国的Ludolph Van Ceulen，他几乎耗尽了一生的时间，用古典的方法计算到圆的内接正262边形，在1609年得到了∏的35位精度值，以至于∏在德国被称为Ludolph数；英国的威廉·山克斯，他耗费了15年的光阴，在1874年算出了圆周率的小数点后707位，并将其刻在了墓碑上作为一生的荣誉。可惜，后人发现，他从第528位开始就算错了。虽然后来又有了计算机，但人们对圆周率还是兴趣盎然，因为数学家们认为对∏的研究可以说明人类的认识是无穷无尽的。在教学圆周率的时候，向学生讲述适当的史料知识，这对培养学生不畏艰险勇往直前的探索精神是有积极意义的。历代数学家在困难面前劈荆斩刺、为数学的通天塔添砖加瓦，他们崇高的理想、坚定的信念、顽强的斗志、勇往直前的探索精神是教育学生最好的模范。
4如何在中学数学教学中渗透数学史
乔治.屈维廉说过：“历史并没有真正的科学价值，它的真正目的乃是教育别人。”作为一个准数学老师，我们不只是应该是去学会数学史，更应该是学会运用数学史。教师如果在数学课堂中，结合所教授的内容，有目的、有计划地融入数学史，不仅可以教学内容更加的丰富饱满，还可以对学生起到潜移默化的作用，使学生医生受益。那如何在中学数学教学中渗透数学史呢，下面给大家介绍几种常见的方法：
4.1巧妙利用数学史名题教学
数学史发展的历史长河中，数学历史名题对数学知识的补充、发展都起过重大的作用，如《孙子算经》里面的“鸡兔同笼”问题、古希腊的三大几何难题、哥德巴赫猜想等等，这些历史名题的提出一般都具有一定的现实背景并对实质性的数学方法有所揭示，这对学生理解数学内容和思想方法有极其巨大的帮助。
浅谈数学史在中学数学教学的作用通过教师对具有开放性的历史名题的展示，一方面可以让学生理解到，数学这个领域是运动着的、是活跃的、未完成的，它不是一个静止的、封闭的系统。另一方面，学生还能够认识到数学正是在猜想、错误、中发展进行的，数学进步是对传统观念的革新，从而激发学生的思维，使他们感受到，抓住适当的、有价值的数学问题将是多么激动人心的事情。
例如，初等几何著名定理勾股定理的证明，这个定理以它的简洁性和应用的广泛性，吸引了很多人。由于年代久远，已经很难知道谁是第一个证明勾股定理的人了，但它的证明方法各式各样，高达三百多种，其中有赵爽证明法、美国总统加菲尔证明法、欧几里得证明方法、利用相似三角形证明方法等等。向学生讲述勾股地理证明的历史，可以使单调无趣的证明过程变得趣味盎然而又富有人性化，跟重要的是让学生觉得他们是在自己探索知识，从而让学生更加积极地参与其中，历史上这么多名人去证明勾股地理，现在自己也跟那些名人一样在研究同样的问题，这个问题就变得不一样了。即使历史上已有人用同样的方法做出过证明，但当学生独自去解决掉勾股定理的证明时，他心里面所产生的成就感和自豪感是其他成功的获得所不能比拟的，而这种成就感也会使学生从此对数学产生浓厚的兴趣。
4.2利用数学史进行新课引入
俗话说：“千里之行，始于足下”。好的开始是成功的一半，教师可以运用数学史来进行新课的导入，引发学生的注意力，把学生的思路从上一节课的知识中引导这一节课中，达到上课的最佳心理状态，从而提高学习的效率。在数学课堂的开端教师向学生适当地讲授一些数学知识产生的故事、传说不仅可以引起学生对知识点的直接兴趣，还可以让学生见识到知识的产生发展过程。当然，要做到这一点老师就要经过精心的设计，力求做到引人入胜，统摄全局，引起共鸣。
举个例子，在讲等比数列时，教师可以先向学生讲述古印度国王国王用麦子奖赏智者的故事：传说古代印度有个国王非常喜欢国际象棋，一天，一个智者与国王下棋并赢了国王,国王说可以满足他的一个要求,智者提出的要求就是要国王在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,第2个格子放上2颗麦粒，第三个格子放4粒麦粒，如此类推，后一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒的2倍（国际象棋棋盘有64个格子），希望国王把这些麦子赏赐给他.国王想这还不容易，就欣然同意了他的要求。经过计算，发明者要求的麦粒总数就是2的64次方减1，这个数字非常大。用这个故事引入等比数列新课，相信学生的注意力都会被吸引过来，而且还能培养学生学习数学的兴趣，机器学生对新知识的探究欲望，让学生情绪高涨，从而产生良好的课堂气氛。
4.3利用数学史设置课堂结束环节
一节课上得好不好，课堂的结束环节很重要。课堂结束这一环节主要是实现本节课的教学升华，辅助学生对知识点进行归纳整理、挖掘提炼，让他们理清教学过程的整体思路脉络，掌握知识的深处内涵。除此以外好的课堂结束环节还可以起到承上启下的作用，让学生对下节课的内容产生兴趣，为下一节课的顺利进行做铺垫。如果这个时候教师能好好利用数学史知识来结束本节课的内容，这样就不仅可以吸引学生的兴趣，还可以启发学生的想象力，探究数学知识的奥秘。不仅如此，由于每个学生学习的水平和需要都不尽相同，用数学史来作为课堂的结束环节，可以让不同基础的学生得到不同程度的发展，使扎实掌握好基础的学生继续深入探究，也给相对落后的学生启发。
譬如这样，陈景润的老师在“整数的性质”这堂课结束的时候跟学生说：“在自然科学当中数学处于皇后的地位，皇后头上的皇冠就是数论。而哥德巴赫猜想，则是这顶皇冠上最璀璨夺目的明珠，为了这了明珠许多数学家倾尽了毕生心血，不知将来在座各位谁能把这颗明珠摘下来呢？”就是这位老师在课堂结束的时候用了数学史的知识做结束环节，记起来学生的探究的种子，后来就有了这个世界上攻克“哥德巴赫猜想”的第一个人。
4.4利用数学史讲授知识系列
每一系列的数学知识都是经过漫长的历史演变逐渐发展形成的，其中每个环节的知识的获得都是以一代代人无数的精力和挫折为代价的，数学教学应做到历史与逻辑的统一，寻找恰当的时机让学生像当年的数学家一样经历和体验数学创造的必要性和创造的基本方法。在数学教学过程中，教师可以把学生学习过的知识当成一个环节，各个环节用历史发生的时间和事件串连成一个知识体系，向学生系统地论述各环节知识产生的过程和发展，在教学进度的允许下，教师可以开展适当的专题性学习，适当向学生介绍一些数学史知识，如知识的背景、知识的影响力和现实生活中的实际应用等等，把学生头脑中的数学知识进行梳理，让这些知识形成一个相对清晰完整的系统，这样会起到1+1﹥2的效果了。
以数的发展历史为例子，在生产活动中,人们为了计量物品的个数,产生出自然数这一概念,在对物品的分割中产生了分数,为了表示有相反意义的量时引入了正负数,在对连续的量进行度量时,又引入了无理数,从负数不能开方出发引入了虚数,并把实数扩展到复数。于是就形成了数的理论发展概况：自然数——整数——有理数——无理数——实数——复数，让学生一目了然，对培养学生知识是变化发展的观点十分有利。
4.5利用数学史开展探究式学习
数学知识的活动都是经过观察、实验、交流、分析、综合、推理、总结得出来的，但我们的教科书上鲜少反映这一漫长而复杂的过程，教师可以以数学史为载体，对某一概念形成的几个关键特征进行分析，在学习该概念时，思考学习者可能会感到一定的困难，他们只理解到概念的表面意思，对概念的深层意思却并不理解，但如果配合学生认知规律去给学生讲解数学概念的发展历程，并对这一数学概念进行拆开理解，再进行知识的序列化重构，然后在这样的基础上实施教学，让学习者在教师的引领作用下，重现数学家们在概念形成所经历的几个关键的探究活动过程，同时教师进行适当指导，让学生经历思维的原过程，不仅能丰富学生学习内容还能增加学生对数学史的兴趣，在探索交流的氛围中获得知识，通过喜欢数学史进而喜欢数学。
在探究性学习中，数学史还有一个非常普遍的作用，就是创建探究性学习的情景，而创设的请进要考虑到各方面的因素，创设的情景要有吸引性、真实性、切合学生的生活实际，又要考虑到知识产生发展的规律性和顺序性。那么运用数学史来进行探究性活动情景的创设就再适合不过了，这样既有利于探究性学习的开展又起到对学生的文化熏陶作用。例如，教师在教授“等可能性事件”知识的时候，可以向学生讲述当年今日在数学界所发生的事情，这一系列的数学事件都发生在这一天，这仅仅是一种巧合还是一种正常现象呢？
5小结
综上所述，数学史不仅是在学生对学习数学兴趣的激发，数学知识的理解和数学思维方法的掌握有所帮助以外，它对培养学生不畏艰险勇往直前的探索精神的过程中所起的作用不应忽视，在数学教学中利用数学史资源促进教育教学更是有必要的，如果运用的好，它可以使数学课更加的生动而富有感染力。理论应该是为实践而服务的，我们可以通过各种方法去渗透数学史，其中包括：巧妙利用数学史名题教学、利用数学史进行新课引入、利用数学史设置课堂结束环节、利用数学史讲授知识系列、利用数学史开展探究式学习，以上是我个人心得体会，由于水平有限，如有不足之处，请多多包涵。

② 复数的几何意义 如何引入

复数的几何意义
主讲人 郝玉红
教学目标：1 理解复平面，实轴，虚轴等概念。2 理解并掌握复数两种几何意义，并能适当应用。
3 掌握复数模的几何定义及其几何意义，弄清复数的模与实数绝对值的区别与联系。
能力目标：培养学生观察，分析，归纳，总结的的能力。
教学重点：复数的几何意义的掌握及应用。
知识难点：复数几何意义的应用。
主要教法：发现式，讲练结合式教学。
教具：多媒体教学系统
教学步骤：
复习提问
1复数的代数形式?
2复数 ,当 为何值时, 表示实数,虚数,纯虚数?
3复数相等的充要条件
点 的横坐标是_____纵坐标是____
这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做_____
X轴叫做______,Y轴叫做_______.
复数 复平面内的点
这是复数的一种几何意义.
复数 平面向量
向量 的模 称为复数 的模,
记作 或
例1 在复平面内,若复数
对应点在:(1)虚轴上,
(2) 实轴的负半轴上 ;
分别求复数
变式练习
复数
对应的点为 ,若 在复平面的 轴的上方,求 的取值范围..
例2
求满足条件 的复数 在复平面上对应点的轨迹.
分析: 根据复数的向量表示,可知,它的轨迹 是以原点为圆心,5为半径的圆.
变式练习
满足条件 的轨迹是________
提高题组
1如果复数 满足 , 那么 的最小值是( )
A 1 B C 2 D
2已知 为复数,且 , 若 则 的最大值是_________
3当 时,复数 在复平面内对应的点位于 ( )

A 第一象限 B 第二象限
C 第三象限 D 第四象限
随堂检测
1满足条件 的复数 在复平面上对应点的轨迹是( )
A 一条直线 B 两条直线 C 圆 D 椭圆
2若 且 则 的虚部的取值范围是( )
A [0, 2] B [0, 3] C [1, 2] D [1, 3]
3 设 且 则复数 在复平面上的对应点 的轨迹方程是______, 的最小值是_________.
小结
1由复平面内适合某种条件的点的集合来求其对应的复数时,通常是由其对应关系列出方程或不等式(组)或混合组,求得复数的实部,虚部的值或范围,来确定所求的复数.
2利用复数的向量表示,充分运用数形结合,可简化解题步骤.
教后记
•本节课主要让学生掌握复数的几何意义，在高考中常见的题型有：与复数的模的最值有关的问题；与复数的几何意义有关的问题；掌握数形结合的思想的应用。故在本节课中侧重于此。学习本节课时要注意联系到前面学过的向量的有关知识，在解题中加以认识并逐渐领会，合理的利用复数的几何意义，常能出奇制胜，事半功倍。所以在学习中注意积累并灵活运用。
•学生的掌握情况很好，参与的积极性很高。

③ 数学复数的历史

1545年，此时的欧洲人尚未完全理解负数、无理数，然而他们智力又面临一个新的“怪物”的挑战。例如卡丹在所著《重要的艺术》（1545）中提出一个问题：把10分成两部分，使其乘积为40。这需要解方程x (10-x) = 40，他求得的根是5-√-15 和5+√-15，然后说“不管会受到多大的良心责备，”把5+√-15和5-√-15相乘，得到25-(-15)=40。于是他说，“算术就是这样神妙地搞下去，它的目标，正如常言所说，是有精致又不中用的。”笛卡尔（Descartes,1596-1650）也抛弃复根，并造出了“虚数”（imaginary number）这个名称。对复数的模糊认识，莱布尼兹（Leibniz,1646- 1716）的说法最有代表性：“圣灵在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，那个介于存在与不存在之间的两栖物，那个我们称之为虚的—1的平方根。”
直到18世纪，数学家们对复数才稍稍建立了一些信心。因为，不管什么地方，在数学的推理中间步骤中用了复数，结果都被证明是正确的。特别是1799年，高斯（Gauss,1777- 1855）关于“代数基本定理”的证明必须依赖对复数的承认，从而使复数的地位得到了近一步的巩固。当然，这并不是说人们对“复数”的顾虑完全消除了。甚至在1831年，棣莫甘（De Morgan,1806- 1871） 在他的著作《论数学的研究和困难》中依然认为：
"……已经证明了记号是没有意义的，或者甚至是自相矛盾或荒唐可笑的。然而，通过这些记号，代数中极其有用的一部分便建立起来的，它依赖于一件必须用经验来检验的事实，即代数的一般规则可以应用于这些式子（复数）。……"
我们知道，18世纪是数学史上的“英雄世纪”，人们的热情是如何发挥微积分的威力，去扩大数学的领地，没有人会对实数系和复数系的逻辑基础而操心。既然复数至少在运算法则上还是直观可靠的，那又何必去自找麻烦呢？
1797年，挪威的韦塞尔（C. Wessel,1745-1818） 写了一篇论文“关于方向的分析表示”，试图利用向量来表示复数，遗憾的是这篇文章的重大价值直到1897年译成法文后，才被人们重视。瑞士人阿甘达（J. Argand,1768-1822） 给出复数的一个稍微不同的几何解释。他注意到负数是正数的一个扩张，它是将方向和大小结合起来得出的，他的思路是：能否利用新增添某种新的概念来扩张实数系？在使人们接受复数方面，高斯的工作更为有效。他不仅将 a+ bi 表示为复平面上的一点 ( a,b），而且阐述了复数的几何加法和乘法。他还说，如果1，-1 和 原来不称为正、负和虚单位，而称为直、反和侧单位，那么人们对这些数就可能不会产生种种阴暗神秘的印象。他说几何表示可以使人们对虚数真正有一个新的看法，他引进术语“复数”（complex number）以与虚数相对立，并用 i 代替。
在澄清复数概念的工作中，爱尔兰数学家哈米尔顿（Hamilton,1805 – 1865） 是非常重要的。哈米尔顿所关心的是算术的逻辑，并不满足于几何直观。他指出：复数a+ bi 不是 2 + 3意义上的一个真正的和，加号的使用是历史的偶然，而 bi 不能加到a 上去。复数a+ bi 只不过是实数的有序数对（a，b），并给出了有序数对的四则运算，同时，这些运算满足结合律、交换率和分配率。在这样的观点下，不仅复数被逻辑地建立在实数的基础上，而且至今还有点神秘的-1的平方根也完全消除了。

④ 数学知识中的复数的起源

复数
（一）数学名词。由实数部分和虚数部分所组成的数，形如a＋bi
。其中a、b为实数，i
为“虚数单位”，i
的平方等于－1。a、b分别叫做复数a＋bi的实部和虚部。当b＝0时，a＋bi＝a
为实数；当b≠0时，a＋bi
又称虚数；当b≠0、a＝0时，bi
称为纯虚数。实数和虚数都是复数的子集。如同实数可以在数轴上表示一样，复数可以在平面上表示，这种表示通常被称为“阿干图示法”，以纪念瑞士数学家阿干(J.R.Argand，1768—1822)。复数x+yi以坐标黑点(x，y)来表示。表示复数的平面称为“复数平面”。如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这两个复数称为共轭复数。
（二）指在英语中与单数相对，两个及两个以上的可数名词。

⑤ ★在数学史上“向量”和“复数”这两个概念哪个先被提出来★

先有的向量

希腊的亚里士多德（前384-前322）已经知道力可以表示成向量

德国的斯提文（1548?-1620?）在静力学问题上，应用了平行四边形法则。伽利略（1564-1642）清楚地叙述 了这个定律。
稍后丹麦的未塞尔（1745-1818），瑞士的阿工（1768-1822）发现了复数的几何表示，德国高斯（1777-1855）建立了 复平面的概念，从而向量就与复数建立了一一对应，这不但为虚数的现实化提供了可能，也可以用复数运算来研究 向量。
英国数学家亥维赛（1850-1925）在向量分析上作出了许多贡献。他首先给出了向量的定义：向量 =a +b +c 。这里 、 、 分别是沿着x、y、z轴方向的单向矢量，系数a、b、c是实数，称为分量等等。至于n 维向量的理论是由德国数学家格拉斯曼1844年引了的。

⑥ 复数的引入有什么意义

复数理论不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。

形如z=a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部等于零时，常称z为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。

复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

(6)复数如何引入数学历史扩展阅读：

复数的应用

1、反常积分

在应用层面，复分析常用以计算某些实值的反常函数，藉由复值函数得出。方法有多种，见围道积分方法。

2、量子力学

量子力学中复数是十分重要的，因其理论是建基于复数域上无限维的希尔伯特空间。

3、相对论

如将时间变数视为虚数的话便可简化一些狭义和广义相对论中的时空度量方程。

⑦ 高二数学，有关〔数系的扩充与复数的引入〕，这题怎么做呀怎么都算不出来…

解：有问题欢迎继续追问，满意请采纳。

A.第一象限

解析：复数z满足i(z+1)＝-3+2i(i是虚数单位)
设z＝a+bi，则i(a+bi+1)＝-3+2i
→-b+(a+1)i＝-3+2i
∴a＝1，b＝3
即z＝1+3i
∴复数z对应的点位于复平面内第一象限

⑧ 复数的引入有什么意义

复数的引入具有非常重要的意义 复变函数学就是以虚数i和e构成的学问 当然 其内容非常的深奥 曾经有位数学家认为数学里有5个数 这个5个数构成了整个数学 它们是0 1 e π i 非常有意思的是 e^(πi)+1=0 这里 就运用了复变函数的感念
尽管复数看起来如此深奥 实际上 在某些贴近你的领域的运用还是非常之多 比如平面几何 平面解析几何 实轴和虚轴组成的复平面把数的概念从一维引入了二维 并且引入了方向的概念 这一点 在物理的受力分析中可以提供一个捷径（这一点 在高中物理竞赛中有所运用） 由于是复数是二维的 GPS系统等处理坐标问题是都涉及复数
的确 它在生活中的运用不多（其实sin cos一类运用不是也不多吗） 但是 在数学领域中 它确是不可或缺的

⑨ 复数是如何引入数学中的

为了负数开方运算能进行，而引入虚数。这样就要扩大数的范围，这就引入了复数概念，复数是实数和虚数的总称。