數學故事黃金分割的發現歷史

A. 黃金分割率的發現歷史

由於公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現代數學家們推斷當時畢達哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金分割。
公元前4世紀，古希臘數學家歐多克索斯第一個系統研究了這一問題，並建立起比例理論。
公元前300年前後歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著。
中世紀後，黃金分割被披上神秘的外衣，義大利數家帕喬利稱中末比為神聖比例，並專門為此著書立說。德國天文學家開普勒稱黃金分割為神聖分割。
到19世紀黃金分割這一名稱才逐漸通行。黃金分割數有許多有趣的性質，人類對它的實際應用也很廣泛。最著名的例子是優選學中的黃金分割法或0.618法，是由美國數學家基弗於1953年首先提出的，70年代在中國推廣。
黃金分割奇妙之處，在於其比例與其倒數是一樣的。例如：1.618的倒數是0.618，而1.618:1與1:0.618是一樣的。
確切值為(√5-1)/2

B. 黃金分割數的來歷誰知道.

把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等於另一部分與這部分之比。其比值是一個無理數，取其前三位數字的近似值是0.618。由於按此比例設計的造型十分美麗，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。這是一個十分有趣的數字，我們以0.618來近似，通過簡單的計算就可以發現：
1/0.618=1.618
(1-0.618)/0.618=0.618
這個數值的作用不僅僅體現在諸如繪畫、雕塑、音樂、建築等藝術領域，而且在管理、工程設計等方面也有著不可忽視的作用。
讓我們首先從一個數列開始，它的前面幾個數是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..這個數列的名字叫做"菲波那契數列"，這些數被稱為"菲波那契數"。特點是即除前兩個數（數值為1）之外，每個數都是它前面兩個數之和。
菲波那契數列與黃金分割有什麼關系呢？經研究發現，相鄰兩個菲波那契數的比值是隨序號的增加而逐漸趨於黃金分割比的。即f(n)/f(n-1)-→0.618…。由於菲波那契數都是整數，兩個整數相除之商是有理數，所以只是逐漸逼近黃金分割比這個無理數。但是當我們繼續計算出後面更大的菲波那契數時，就會發現相鄰兩數之比確實是非常接近黃金分割比的

C. 黃金分割的發現歷史

由於公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現代數學家們推斷當時畢達哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金分割。

公元前4世紀，古希臘數學家歐多克索斯第一個系統研究了這一問題，並建立起比例理論。

公元前300年前後歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著。

中世紀後，黃金分割被披上神秘的外衣，義大利數家帕喬利稱中末比為神聖比例，並專門為此著書立說。德國天文學家開普勒稱黃金分割為神聖分割。

到19世紀黃金分割這一名稱才逐漸通行。黃金分割數有許多有趣的性質，人類對它的實際應用也很廣泛。最著名的例子是優選學中的黃金分割法或0.618法，是由美國數學家基弗於1953年首先提出的，70年代在中國推廣。

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a b
a:b=(a+b):a
通常用希臘字母Ф表示這個值。

黃金分割奇妙之處，在於其比例與其倒數是一樣的。例如：1.618的倒數是0.618，而1.618:1與1:0.618是一樣的。
確切值為(√5-1)/2
黃金分割數是無理數，前面的2000位為:
0.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 : 50
2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 : 100
8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 : 150
7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 : 200
0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 : 250
1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 : 300
8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 : 350
2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 : 400
3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 : 450
1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 : 500
1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 : 550
7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 : 600
8610283831 2683303724 2926752631 392473 1671112115 : 650
8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 : 700
7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 : 750
1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 : 800
3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 : 850
9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 : 900
7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 : 950
9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362 : 1000
1076738937 6455606060 5921658946 6759551900 4005559089 : 1050
5022953094 2312482355 2122124154 4400647034 0565734797 : 1100
6639723949 4994658457 8873039623 0903750339 9385621024 : 1150
2369025138 6804145779 9569812244 5747178034 1731264532 : 1200
2041639723 2134044449 4873023154 1767689375 2103068737 : 1250
8803441700 9395440962 7955898678 7232095124 2689355730 : 1300
9704509595 6844017555 1988192180 2064052905 5189349475 : 1350
9260073485 2282101088 1946445442 2231889131 9294689622 : 1400
0023014437 7026992300 780308 1807545192 8877050210 : 1450
9684249362 7135925187 6077788466 5836150238 9134933331 : 1500
2231053392 3213624319 2637289106 7050339928 2265263556 : 1550
2090297986 4247275977 2565508615 4875435748 2647181414 : 1600
5127000602 3890162077 7322449943 5308899909 5016803281 : 1650
1219432048 1964387675 8633147985 7191139781 5397807476 : 1700
1507722117 5082694586 3932045652 0989698555 6781410696 : 1750
8372884058 7461033781 0544439094 3683583581 3811311689 : 1800
9385557697 5484149144 5341509129 5407005019 4775486163 : 1850
0754226417 2939468036 7319805861 8339183285 9913039607 : 1900
2014455950 4497792120 7612478564 5916160837 0594987860 : 1950
0697018940 9886400764 4361709334 1727091914 3365013715 : 2000

D. 黃金分割的發現史

雖然不是自己寫的,但是希望這個能對你有用!

黃金分割〔Golden Section〕是一種數學上的比例關系。黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值。應用時一般取0.618 ，就像圓周率在應用時取3.14一樣。

發現歷史

由於公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現代數學家們推斷當時畢達哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金分割。

公元前4世紀，古希臘數學家歐多克索斯第一個系統研究了這一問題，並建立起比例理論。

公元前300年前後歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著。

中世紀後，黃金分割被披上神秘的外衣，義大利數家帕喬利稱中末比為神聖比例，並專門為此著書立說。德國天文學家開普勒稱黃金分割為神聖分割。

到19世紀黃金分割這一名稱才逐漸通行。黃金分割數有許多有趣的性質，人類對它的實際應用也很廣泛。最著名的例子是優選學中的黃金分割法或0.618法，是由美國數學家基弗於1953年首先提出的，70年代在中國推廣。

|..........a...........|

+-------------+--------+ -

| | | .

| | | .

| B | A | b

| | | .

| | | .

| | | .

+-------------+--------+ -

|......b......|..a-b...|

通常用希臘字母 表示這個值。

黃金分割奇妙之處，在於其比例與其倒數是一樣的。例如：1.618的倒數是0.618，而1.618:1與1:0.618是一樣的。

確切值為(根號5-1)/2

實際上，所謂黃金分割，就是上面的那種分割滿足b/(a-b)=a/b,即a^2-ab-b^2=0,可算出b/a=(根號5-1)/2

作已知線段的黃金分割點

2000多年前，古希臘的柏拉圖派學者歐多克斯，首先使用尺規作圖作出已知線段的黃金分割點，他的作法如下：

1.設已知線段為AB，過點B作BC⊥AB，且BC=AB/2；

2.連AC；

3.以C為圓心，CB為半徑作弧，交AC於D；

4.以A為圓心，AD為半徑作弧，交AB於P，則點P就是AB的黃金分割點。

證明：設由勾股定理可知，AC=根號（AB^2+AC^2）=根號5/2*AB

AD=AC-DC=根號5/2*AB-AB/2=(根號5-1)/2*AB

AP=AD=(根號5-1)/2*AB

AP:AB=(根號5-1)/2

點P就是AB的黃金分割點。

E. 最早記錄黃金分割的是哪本數學巨作

一般認為，黃金分割是由公元前6世紀的畢達哥拉斯發現的。 系統論述黃金分割的最早記載是歐幾里得的《幾何原本》，在該書第四卷中記述了用黃金分割作五邊形、十邊形的的問題，在第二卷第11節中詳細講了黃金分割的計算方法，其中寫道：「以點h按中末比截線段ab，使ab∶ah=ah∶hb」將這一式子計算一下：設 ab= 1， ah=x，則上面等式18，點h是ab的黃金分割點， 0.618叫做「黃金數」。 在《幾何原本》中把它稱為「中末比」。

F. 黃金分割法則的發現歷史

人們認為，黃金分割作圖與正五邊形、正十邊形和五角星形的作圖有關——特別是由五角星形作圖的需要引起的。 五角星形是一種很耐人尋味的圖案，世界許多國家國旗上的「星」都畫成五角形。現今有將近40個國家（如中國、美國、朝鮮、土耳其、古巴等等）的國旗上有五角星。為什麼是五角而不是其他數目的角？也許是古代留下來的習慣。
五角星形的起源甚早，現在發現最早的五角星形圖案是在幼發拉底河下游馬魯克地方（現屬伊拉克）發現的一塊公元前3200年左右製成的泥板上。
古希臘的畢達哥拉斯學派用五角星形作為他們的徽章或標志，稱之為「健康」。可以認為畢達哥拉斯已熟知五角星形的作法，由此可知他已掌握了黃金分割的方法。
現在人一般認為，黃金分割是由公元前6世紀的畢達哥拉斯發現的。 系統論述黃金分割的最早記載是歐幾里得的《幾何原本》，在該書第四卷中記述了用黃金分割作五邊形、十邊形的的問題，在第二卷第11節中詳細講了黃金分割的計算方法，其中寫道：「以點h按中末比截線段ab，使ab∶ah=ah∶hb」將這一式子計算一下：設 ab= 1， ah=x，則上面等式18，點h是ab的黃金分割點， 0.618叫做「黃金數」。 在《幾何原本》中把它稱為「中末比」。
直到文藝復興時期，人們重新發現了古希臘數學，並且發現這種比例廣泛存在於許多圖形的自然結構之中，因而高度推崇中末比的奇妙性質和用途。義大利數學家帕喬利稱中末比為「神聖比例」；德國天文學家開普勒稱中末比為「比例分割」，並認為勾股定理「好比黃金」，中末比「堪稱珠玉」。
最早在著作中使用「黃金分割」這一名稱的是德國數學家m·歐姆，他是發現電學的歐姆定律的g·s·歐姆的弟弟。他在自己的著作《純粹初等數學》（第二版，1835）中用了德文字：「der goldene schnitt（黃金分割）」來表述中末比，以後，這一稱呼才逐漸流行起來。

G. 歷史上，與黃金分割有關的趣聞

黃金分割又稱黃金律，是指事物各部分間一定的數學比例關系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等於整體與較大部分之比，其比值為1∶0.618或1.618∶1，即長段為全段的0.618。0.618被公認為最具有審美意義的比例數字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被稱為黃金分割。
故事：關於黃金分割比例的起源大多認為來自畢達哥拉斯，據說在古希臘，有一天畢達哥拉斯走在街上，在經過鐵匠鋪前他聽到鐵匠打鐵的聲音非常好聽，於是駐足傾聽。他發現鐵匠打鐵節奏很有規律，這個聲音的比例被畢達哥拉斯用數理的方式表達出來。被應用在很多領域，後來很多人專門研究過，開普勒稱其為「神聖分割」也有人稱其為「金法」。在金字塔建成1000年後才出現畢達哥拉斯定律，可見這很早就存在。只是不知這個謎底。

H. 關於數學的黃金分割點的事例

生活應用
有趣的是，這個數字在自然界和人們生活中到處可見：人們的肚臍是人體總長的黃金分割點，人的膝蓋是肚臍到腳跟的黃金分割點。大多數門窗的寬長之比也是0.618…；有些植莖上，兩張相鄰葉柄的夾角是137度28'，這恰好是把圓周分成1:0.618……的兩條半徑的夾角。據研究發現，這種角度對植物通風和採光效果最佳。
建築師們對數學0.618…特別偏愛，無論是古埃及的金字塔，還是巴黎的聖母院，或者是近世紀的法國埃菲爾鐵塔，都有與0.618…有關的數據。人們還發現，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫面的0.618…處。藝術家們認為弦樂器的琴馬放在琴弦的0.618…處，能使琴聲更加柔和甜美。
數字0.618…更為數學家所關注，它的出現，不僅解決了許多數學難題(如：十等分、五等分圓周；求18度、36度角的正弦、餘弦值等)，而且還使優選法成為可能。優選法是一種求最優化問題的方法。如在煉鋼時需要加入某種化學元素來增加鋼材的強度，假設已知在每噸鋼中需加某化學元素的量在1000—2000克之間，為了求得最恰當的加入量，需要在1000克與2000克這個區間中進行試驗。通常是取區間的中點(即1500克)作試驗。然後將試驗結果分別與1000克和2000克時的實驗結果作比較，從中選取強度較高的兩點作為新的區間，再取新區間的中點做試驗，再比較端點，依次下去，直到取得最理想的結果。這種實驗法稱為對分法。但這種方法並不是最快的實驗方法，如果將實驗點取在區間的0.618處，那麼實驗的次數將大大減少。這種取區間的0.618處作為試驗點的方法就是一維的優選法，也稱0.618法。實踐證明，對於一個因素的問題，用「0.618法」做16次試驗就可以完成「對分法」做2500次試驗所達到的效果。因此大畫家達·芬奇把0.618…稱為黃金數。

I. 黃金分割的事例

人體美學中的黃金分割

人體美學觀察受到種族、社會、個人各方面因素的影響，牽涉到形體與精神、局部與整體的辯證統一，只有整體的和諧、比例協調，才能稱得上一種完整的美。本次討論的問題主要為美學觀察的一些定律。

（一）黃金分割律 這其實是一個數字的比例關系，即把一條線分為兩部分，此時長段與短段之比恰恰等於整條線與長段之比，其數值比為1.618 : 1或1 : 0.618，也就是說長段的平方等於全長與短段的乘積。0.618，以嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值。 為什麼人們對這樣的比例，會本能地感到美的存在？
其實這與人類的演化和人體正常發育密切相關。人的進化過程中，骨骼方面以頭骨和腿骨變化最大，軀體外形由於近似黃金而矩形變化最小，人體結構中有許多比例關系接近0.618，從而使人體美在幾十萬年的歷史積淀中固定下來。於是黃金分割律作為一種重要形式美法則，成為世代相傳的審美經典規律，至今不衰！
近年來，在研究黃金分割與人體關系時，發現了人體結構中有14個「黃金點」（物體短段與長段之比值為 0.618），12個「黃金矩形」（寬與長比值為 0.618的長方形）和2個「黃金指數」（兩物體間的比例關系為 0.618）。 黃金點：(1)肚臍：頭頂－足底之分割點；(2)咽喉：頭頂－肚臍之分割點；(3)、(4)膝關節：肚臍－足底之分割點；(5)、(6)肘關節：肩關節－中指尖之分割點；(7)、(8)乳頭：軀干乳頭縱軸上這分割點；(9)眉間點：發際－頦底間距上1/3與中下2/3之分割點；(10)鼻下點：發際－頦底間距下1/3與上中2/3之分割點；(11)唇珠點：鼻底－頦底間距上1/3與中下2/3之分割點；(12)頦唇溝正路點：鼻底－頦底間距下1/3與上中2/3之分割點；(13)左口角點：口裂水平線左1/3與右2/3之分割點；(14) 右口角點：口裂水平線右1/3與左2/3之分割點。 面部黃金分割律 面部三庭五眼 黃金矩形：(1)軀體輪廓：肩寬與臀寬的平均數為寬，肩峰至臀底的高度為長；(2)面部輪廓：眼水平線的面寬為寬，發際至頦底間距為長；(3)鼻部輪廓：鼻翼為寬，鼻根至鼻底間距為長；(4)唇部輪廓：靜止狀態時上下唇峰間距為寬，口角間距為長；(5)、(6)手部輪廓：手的橫徑為寬，五指並攏時取平均數為長；(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上頜切牙、側切牙、尖牙（左右各三個）輪廓：最大的近遠中徑為寬，齒齦徑為長。

黃金指數：(1)反映鼻口關系的鼻唇指數：鼻翼寬與口角間距之比近似黃金數；(2)反映眼口關系的目唇指數：口角間距與兩眼外眥間距之比近似黃金數。 0.618，作為一個人體健美的標准尺度之一，是無可非議的，但不能忽視其存在著「模糊特性」，它同其它美學參數一樣，都有一個允許變化的幅度，受種族、地域、個體差異的制約。

（二）比例關系 是用數字來表示人體美，並根據一定的基準進行比較。用同一人體的某一部位作為基準，來判定它與人體的比例關系的方法被稱為同身方法（見中圖）。分為三組：系數法，常指頭高身長指數，如畫人體有坐五、立七，即身高在坐位時為頭高的五倍、立位時為7或7.5倍；百分數法，將身長視為100%，身體各部位在其中的比例；兩分法：即把人體分成大小兩部分，大的部分從腳到臍，小的部分為臍到頭頂。 標準的面型，其長寬比例協調，符合三停五眼（見右圖）。三停是指臉型的長度，從頭部發際到下頦的距離分為三等分，即從發際到眉、眉到鼻尖、鼻尖到下頦各分為一等分，各稱一停共三停；五眼是指臉型的寬度，雙耳間正面投影的長度為五隻眼裂的長度，除眼裂外、內此間距為一眼裂長度、兩側外眥角到耳部各有一眼裂長度，